ABC231 G - Balls in Boxes
解法
の総和を求めて、最後に全パターン数で割れば答えです。総和の求め方について考えていきます。
は、個の箱にあるボール個からそれぞれ1個ずつ選ぶパターン数と一致します。
ということです。
個目の箱にあるボールからボールを選ぶパターンは2パターンあります。
最初から入っている個のボールを選ぶパターンと、新しく追加された個のボールを選ぶパターンです。
前者は明らかに通りです。
個の箱の中で、前者を選ぶグループを決めていきます。すると、前者を選んだ箱におけるに、回のボールの入れ方、および後者を選んだ箱のボールの選び方をかけたものを足していけば答えです。
新しく追加するボールの入れ方や選び方は、前者を選んだ数に依存します。なので、をあらかじめまとめて足しておきます。
これは、
- 番目の箱までみて、個の箱を前者として選んだ状態における、の総和
として計算していくことができます。
では、にかけるべき数を計算していきます。やることは2つで、
個のボールのうち、個の選ばれるべきボールの位置を決める
残ったボールを箱に振り分ける
です。
1つめについて考えます。まだ選ばれてない箱の番号がだったとします。この時、回の操作のうち3つをとってきて並べた列を作ると、前から順番にに割り当てることで、過不足なく数えることができます。つまり、個の中から個選んで並べるパターン数になり、となります。
あとは2つめの操作です。残っているボールは、どの箱に割り当てても問題ありません。なので、残っているボールの手前から順に、個の箱の中から1つ選んでいけばよいので、が答えです。
よって、を計算して足していけば答えになります。
感想
をボールの選び方に帰着させる問題は今まで解けたことがなかったので、今回初めて解けてうれしいです。